La función delta de DIRAC

Jaime Melquiades Lizárraga

Resumen


La función delta de Dirac es una función que tiene salto, es decir, no es una función que este definida para cada punto de su dominio. Además satisface , por lo que es llamada distribución o función de prueba, que no es más un objeto matemático que generaliza la noción de función y la de medida. La noción de distribución o función generalizada sirve para extender el concepto de derivada a todas las funciones localmente integrables y a entes aún más generales. Esto nos motivó a que usando la función de Heaviside obtuviéramos las derivadas hasta el orden 3 de la función delta de Dirac, con lo que podemos decir la función delta de Dirac es un conjunto de base, y así extender a definir  el cual representa el valor numérico del funcional  en la función de base . Asimismo, se verifico que . Entonces ante la interrogante, ¿Cuáles son los condicionamientos que debe tener n-ésima derivada de la función delta de Dirac para que tenga una expresión analítica y un sentido geométrico?, entonces es necesario tener como referente la función delta de Dirac, así como las expansiones en serie de Fourier y el método de la cuadratura para integrales y nos planteamos la siguiente hipótesis: “qué condiciones debe tener una función generalizadas para extender la noción de derivada a todas las funciones localmente integrables”. Por lo que se realizó el análisis de la condición de función localmente integrable, apoyándonos en el lema de Du Bois – Reymond, luego procedimos a realizar el análisis de la condición de función generalizada singular y finalmente el análisis de la derivada de funciones generalizadas, encontrando que hay una relación biunívoca entre las funciones localmente integrables en  y las funciones generalizadas regulares, es decir, hay una equivalencia entre la función localmente integrable y la función generalizada dada por  .


Palabras clave


La función delta de Dirac, función generalizada, función de base, función localmente integrable, función generalizada singular, relación biunívoca.

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Referencias


Neal E. Theoretical Mechanics. Krieger Publishing Company; 1990

Mathews J, Walker R. Matemáticas para físicos”. Edit. Reverte S. A.; 2000. p. 61– 99.

Lighthill M. Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions, Cambridge, at the University Press., 1962.

Hsu H. Análisis de Fourier. Fondo Educativo Interamericano; 1970.


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